Resolver y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Resolver y

$$y=6$$

$$y=9$$

Pasos que usan factorización

Engadir 54 en ambos lados.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza y^{2}-15y+54 usando fórmulas y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-15 ab=54$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

A solución é a parella que fornece a suma -15.

$$a=-9 b=-6$$

Reescribe a expresión factorizada \left(y+a\right)\left(y+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve y-9=0 e y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Engadir 54 en ambos lados.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como y^{2}+ay+by+54. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

A solución é a parella que fornece a suma -15.

$$a=-9 b=-6$$

Reescribe y^{2}-15y+54 como \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Factoriza y no primeiro e -6 no grupo segundo.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Factoriza o termo común y-9 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve y-9=0 e y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$y^{2}-15y=-54$$

Suma 54 en ambos lados da ecuación.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Se restas -54 a si mesmo, quédache 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Resta -54 de 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -15 e c por 54 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Eleva -15 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Multiplica -4 por 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Suma 225 a -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

O contrario de -15 é 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{15±3}{2} se ± é máis. Suma 15 a 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Divide 18 entre 2.

$$y=9$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{15±3}{2} se ± é menos. Resta 3 de 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Divide 12 entre 2.

$$y=6$$

A ecuación está resolta.

$$y=9 y=6$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Divide -15, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{15}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{15}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{15}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Suma -54 a \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Factoriza y^{2}-15y+\frac{225}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifica.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Suma \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación.

$$y=9 y=6$$