Resolver x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Resolver para x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

Para resolver a desigualdade, factoriza o lado esquerdo. O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 1 por a, -1 por b e -1 por c na fórmula cadrática.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Fai os cálculos.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Resolve a ecuación x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} cando ± é máis e cando ± é menos.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Reescribe a desigualdade utilizando as solucións obtidas.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Para que o produto sexa positivo, x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} e x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} teñen que ser ambos os dous positivos ou negativos. Considera o caso cando x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} e x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} son os dous negativos.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

A solución que satisfai ambas as dúas desigualdades é x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Considera o caso cando x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} e x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} son os dous positivos.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

A solución que satisfai ambas as dúas desigualdades é x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

A solución final é a unión das solucións obtidas.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$