Resolver x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Resolver para x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

Para resolver a desigualdade, factoriza o lado esquerdo. O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 1 por a, -3 por b e 1 por c na fórmula cadrática.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Fai os cálculos.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Resolve a ecuación x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} cando ± é máis e cando ± é menos.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Reescribe a desigualdade utilizando as solucións obtidas.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Para que o produto sexa negativo, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} e x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} teñen que ser de signo oposto. Considera o caso cando x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} é positivo e x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} negativo.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Isto é falso para calquera x.

$$x\in \emptyset$$

Considera o caso cando x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} é positivo e x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} negativo.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

A solución que satisfai ambas as dúas desigualdades é x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

A solución final é a unión das solucións obtidas.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$