Resolver x^2+15x+54=0

$${ x }^{ 2 } +15x+54=0$$

Resolver x

$$x=-9$$

$$x=-6$$

Pasos que usan factorización

Para resolver a ecuación, factoriza x^{2}+15x+54 usando fórmulas x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=15 ab=54$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 54.

$$1,54 2,27 3,18 6,9$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+54=55 2+27=29 3+18=21 6+9=15$$

A solución é a parella que fornece a suma 15.

$$a=6 b=9$$

Reescribe a expresión factorizada \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(x+6\right)\left(x+9\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x+6=0 e x+9=0.

$$x=-6 x=-9$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx+54. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=15 ab=1\times 54=54$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 54.

$$1,54 2,27 3,18 6,9$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+54=55 2+27=29 3+18=21 6+9=15$$

A solución é a parella que fornece a suma 15.

$$a=6 b=9$$

Reescribe x^{2}+15x+54 como \left(x^{2}+6x\right)+\left(9x+54\right).

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(9x+54\right)$$

Factoriza x no primeiro e 9 no grupo segundo.

$$x\left(x+6\right)+9\left(x+6\right)$$

Factoriza o termo común x+6 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x+6\right)\left(x+9\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x+6=0 e x+9=0.

$$x=-6 x=-9$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x^{2}+15x+54=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por 15 e c por 54 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 54}}{2}$$

Eleva 15 ao cadrado.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Multiplica -4 por 54.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-216}}{2}$$

Suma 225 a -216.

$$x=\frac{-15±\sqrt{9}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 9.

$$x=\frac{-15±3}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-15±3}{2} se ± é máis. Suma -15 a 3.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Divide -12 entre 2.

$$x=-6$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-15±3}{2} se ± é menos. Resta 3 de -15.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Divide -18 entre 2.

$$x=-9$$

A ecuación está resolta.

$$x=-6 x=-9$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+15x+54=0$$

Resta 54 en ambos lados da ecuación.

$$x^{2}+15x+54-54=-54$$

Se restas 54 a si mesmo, quédache 0.

$$x^{2}+15x=-54$$

Divide 15, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{15}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{15}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Suma -54 a \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Factoriza x^{2}+15x+\frac{225}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Resta \frac{15}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=-6 x=-9$$