Resolver t^2-109t+900=0

$${ t }^{ 2 } -109t+900 = 0$$

Resolver t

$$t=9$$

$$t=100$$

Pasos que usan factorización

Para resolver a ecuación, factoriza t^{2}-109t+900 usando fórmulas t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-109 ab=900$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

A solución é a parella que fornece a suma -109.

$$a=-100 b=-9$$

Reescribe a expresión factorizada \left(t+a\right)\left(t+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve t-100=0 e t-9=0.

$$t=100 t=9$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como t^{2}+at+bt+900. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-109 ab=1\times 900=900$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

A solución é a parella que fornece a suma -109.

$$a=-100 b=-9$$

Reescribe t^{2}-109t+900 como \left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right).

$$\left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right)$$

Factoriza t no primeiro e -9 no grupo segundo.

$$t\left(t-100\right)-9\left(t-100\right)$$

Factoriza o termo común t-100 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve t-100=0 e t-9=0.

$$t=100 t=9$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$t^{2}-109t+900=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -109 e c por 900 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{\left(-109\right)^{2}-4\times 900}}{2}$$

Eleva -109 ao cadrado.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-4\times 900}}{2}$$

Multiplica -4 por 900.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-3600}}{2}$$

Suma 11881 a -3600.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{8281}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 8281.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±91}{2}$$

O contrario de -109 é 109.

$$t=\frac{109±91}{2}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{109±91}{2} se ± é máis. Suma 109 a 91.

$$t=\frac{200}{2}$$

Divide 200 entre 2.

$$t=100$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{109±91}{2} se ± é menos. Resta 91 de 109.

$$t=\frac{18}{2}$$

Divide 18 entre 2.

$$t=9$$

A ecuación está resolta.

$$t=100 t=9$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-109t+900=0$$

Resta 900 en ambos lados da ecuación.

$$t^{2}-109t+900-900=-900$$

Se restas 900 a si mesmo, quédache 0.

$$t^{2}-109t=-900$$

Divide -109, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{109}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{109}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$t^{2}-109t+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}=-900+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{109}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=-900+\frac{11881}{4}$$

Suma -900 a \frac{11881}{4}.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=\frac{8281}{4}$$

Factoriza t^{2}-109t+\frac{11881}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}=\frac{8281}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8281}{4}}$$

Simplifica.

$$t-\frac{109}{2}=\frac{91}{2} t-\frac{109}{2}=-\frac{91}{2}$$

Suma \frac{109}{2} en ambos lados da ecuación.

$$t=100 t=9$$