Resolver left(2x-3right)^2-left(x-5right)^2=-23

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } - { \left(x-5 \right) }^{ 2 } =-23$$

Resolver x (complex solution)

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0.333333333+1.490711985i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0.333333333-1.490711985i$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Para calcular o oposto de x^{2}-10x+25, calcula o oposto de cada termo.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Combina -12x e 10x para obter -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Resta 25 de 9 para obter -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Engadir 23 en ambos lados.

$$3x^{2}-2x-16+23=0$$

Suma -16 e 23 para obter 7.

$$3x^{2}-2x+7=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por -2 e c por 7 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Eleva -2 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 7}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-84}}{2\times 3}$$

Suma 4 a -84.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-80}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de -80.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

O contrario de -2 é 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} se ± é máis. Suma 2 a 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{2+4\sqrt{5}i}{6}$$

Divide 2+4i\sqrt{5} entre 6.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} se ± é menos. Resta 4i\sqrt{5} de 2.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+2}{6}$$

Divide 2-4i\sqrt{5} entre 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Para calcular o oposto de x^{2}-10x+25, calcula o oposto de cada termo.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Combina -12x e 10x para obter -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Resta 25 de 9 para obter -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Engadir 16 en ambos lados.

$$3x^{2}-2x=-23+16$$

Suma -23 e 16 para obter -7.

$$3x^{2}-2x=-7$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{7}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Divide -\frac{2}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{3}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{9}$$

Suma -\frac{7}{3} a \frac{1}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{20}{9}$$

Factoriza x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Suma \frac{1}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$