A trigonometría estuda as relacións entre os lados e os ángulos dun triángulo e, por extensión, as propiedades dos puntos e rectas notábeis dun triángulo. A palabra deriva do grego trigonon, triángulo, e metron, medida; é dicir, etimoloxicamente trigonometría é a medida de tres ángulos ou medida de triángulos. En concreto, a trigonometría establece varias funcións trigonométricas para un ángulo, definibles graficamente segundo unha circunferencia de raio unidade de tal xeito que o devandito ángulo ten o seu vértice no centro do círculo: a función chamada seno dun ángulo relaciona o valor do cateto oposto ó ángulo co da hipotenusa. Polo tanto tomando coma referencia a circunferencia de raio unidade da figura, se a hipotenusa ten valor 1, o seno será o segmento vermello, é dicir, o seno terá o valor do cateto oposto cando a hipotenusa vale a unidade; displaystylesinalpha=fraccateto,,opostohipotenusa a función chamada coseno dun ángulo relaciona o valor do cateto contiguo co da hipotenusa. Na figura, para unha hipotenusa unitaria, o coseno será o segmento verde, é dicir, o coseno terá o valor do cateto contiguo cando a hipotenusa vale a unidade; displaystylecosalpha=fraccateto,,adxacentehipotenusa a función chamada tanxente relaciona as dúas anteriores: é dicir, é a relación entre o seno e o coseno. Para facer que o coseno teña valor unitario, faise coincidir co raio, e polo tanto a tanxente é o segmento azul, exterior á circunferencia, é dicir, a tanxente terá o valor do cateto oposto cando o cateto contiguo vale a unidade: displaystyletanalpha=fracsinalphacosalpha=fraccateto,,opostocateto,,adxacente=fracfraccateto,,opostohipotenusafraccateto,,adxacentehipotenusa O nome destas funcións procede de que estes segmentos marcados están no interior ou na tanxente á circunferencia de raio unidade. Existen outras tres funcións trigonométricas que teñen o valor inversamente proporcional ás tres anteriores. Os seus nomes son secante, cosecante e cotanxente. Os seus nomes tamén proceden da posición do segmento en relación á circunferencia unidade. Estas inversas son: a función chamada secante dun ángulo relaciona o valor da hipotenusa co do cateto continuo ó angulo. Polo tanto tomando coma referencia a circunferencia de raio unidade da figura, se o cateto contiguo ten valor 1, a secante será o segmento en trazos verdes, é dicir, a secante terá o valor da hipotenusa cando o cateto contiguo vale a unidade; displaystylesecalpha=frachipotenusacateto,,adxacente=1overcosalpha a función chamada cosecante dun ángulo relaciona o valor da hipotenusa co do cateto oposto. Na figura, para un cateto unitario de valor igual ó raio, a cosecante será o segmento en trazos vermellos, é dicir, a cosecante terá o valor da hipotenusa cando o cateto oposto vale a unidade; displaystylecscalpha=frachipotenusacateto,,oposto=1oversinalpha a función chamada cotanxente relaciona as dúas anteriores e é inversa da tanxente: é dicir, é a relación entre o coseno e o seno ou entre a secante e a cosecante. Para facer que o coseno teña valor unitario, faise coincidir co raio, e polo tanto a tanxente é o segmento azul, exterior á circunferencia, é dicir, a cotanxente terá o valor do cateto contiguo cando o cateto oposto vale a unidade: displaystylecotalpha=fraccosalphasinalpha=fracfraccateto,,adxacentehipotenusafraccateto,,opostohipotenusa=fracsecalphacscalpha=fraccateto,,adxacentecateto,,oposto O concepto de inversión nestas funcións opostas non consiste no valor matematicamente inversamente proporcional segundo a matemática, senón no concepto contrario ou función inversa. O seu argumento son números reais e o seu resultado son os ángulos ou arcos (en radiáns). Debido a isto as funcións teñen por nome a denominación da función directa antecedido do prefixo arco-. Así, existen seis funcións inversas: arcoseno (displaystylearcsin), arcocoseno (displaystylearccos), arcotanxente (displaystylearctan), arcosecante (displaystyleoperatornamearcsec), arcocosecante (displaystyleoperatornamearccsc) e arcocotanxente (displaystyleoperatornamearccot). Así, cando nunha fómula matemática lemos displaystylesin⁻¹x, débese interpretar como displaystylearcsinx. Para o inverso multiplicativo displaystylescriptstyledfrac1sinx usaríase displaystyle(sinx)⁻¹. Enúnciase como: a suma dos ángulos dun triángulo suma 180º, medida que equivale a π radiáns. Para outros polígonos regulares se pode calcular mediante o seguinte construto baseado neste teorema: Se un polígono ten n lados e se busca o centro de simetría radial, se pode unir os n vértices mediante n segmentos (en azul); Isto produce n triángulos interiores que terán displaystylen,180ᶜⁱʳᶜ Tendo en conta que a suma dos ángulos que rodean ó centro de simetría é 360º (en vermello), o resto dos ángulos miden en conxunto: displaystylen,180ᶜⁱʳᶜ-360ᶜⁱʳᶜ=(n-2),180ᶜⁱʳᶜ Como o polígono ten n vértices, a cada un corresponderalle: displaystylefrac(n-2),180ᶜⁱʳᶜn=fracn-2n180ᶜⁱʳᶜ=left(1-frac2nright)180ᶜⁱʳᶜ (en verde) Este valor a medida que se vai aumentando equivale a 180º, que é o valor da tanxente da circunferencia. Este teorema baséase no teorema de Pitágoras e relaciona o seno dun ángulo co seu coseno. A súa demostración é moi doada partindo do dito por Pitágoras e dividíndoo entre o cadrado da hipotenusa (displaystylecatetoO, é o cateto oposto e displaystylecatetoC, é o cateto contiguo): displaystylebeginmatrixmboxcatetoO²+mboxcatetoC²&=&mboxhipotenusa²&Rightarrow{fracmboxcatetoO²mboxhipotenusa²}+fracmboxcatetoC²mboxhipotenusa²&=&fracmboxhipotenusa²mboxhipotenusa²&Rightarrow(fracmboxcatetoOmboxhipotenusaright)²+left(fracmboxcatetoCmboxhipotenusaright)²&=&1&Rightarrowcos²alpha+sin²alpha&=&1endmatrix Existe unha relación entre as funcións trigonométricas de varios ángulos e as funcións de cada un dos sumandos ou restandos individualmente. Disto dedúcese a relación entre as funcións dun ángulo e o do seu dobre. Tamén hai unha equivalencia entre a función dun ángulo e o da súa metade. Para coñecer o valor da derivada das funcións trigonométricas v. derivada.
