Resolver sqrt{x-5}+sqrt{2x-3}=4

$$\sqrt{ x-5 } + \sqrt{ 2x-3 } =4$$

Resolver x

$$x=6$$

Pasos da solución

Resta \sqrt{2x-3} en ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{x-5}=4-\sqrt{2x-3}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}=\left(4-\sqrt{2x-3}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-5} á potencia de 2 e obtén x-5.

$$x-5=\left(4-\sqrt{2x-3}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(4-\sqrt{2x-3}\right)^{2}.

$$x-5=16-8\sqrt{2x-3}+\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-3} á potencia de 2 e obtén 2x-3.

$$x-5=16-8\sqrt{2x-3}+2x-3$$

Resta 3 de 16 para obter 13.

$$x-5=13-8\sqrt{2x-3}+2x$$

Resta 13+2x en ambos lados da ecuación.

$$x-5-\left(13+2x\right)=-8\sqrt{2x-3}$$

Para calcular o oposto de 13+2x, calcula o oposto de cada termo.

$$x-5-13-2x=-8\sqrt{2x-3}$$

Resta 13 de -5 para obter -18.

$$x-18-2x=-8\sqrt{2x-3}$$

Combina x e -2x para obter -x.

$$-x-18=-8\sqrt{2x-3}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(-x-18\right)^{2}=\left(-8\sqrt{2x-3}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-x-18\right)^{2}.

$$x^{2}+36x+324=\left(-8\sqrt{2x-3}\right)^{2}$$

Expande \left(-8\sqrt{2x-3}\right)^{2}.

$$x^{2}+36x+324=\left(-8\right)^{2}\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}$$

Calcula -8 á potencia de 2 e obtén 64.

$$x^{2}+36x+324=64\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-3} á potencia de 2 e obtén 2x-3.

$$x^{2}+36x+324=64\left(2x-3\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 64 por 2x-3.

$$x^{2}+36x+324=128x-192$$

Resta 128x en ambos lados.

$$x^{2}+36x+324-128x=-192$$

Combina 36x e -128x para obter -92x.

$$x^{2}-92x+324=-192$$

Engadir 192 en ambos lados.

$$x^{2}-92x+324+192=0$$

Suma 324 e 192 para obter 516.

$$x^{2}-92x+516=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza x^{2}-92x+516 usando fórmulas x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-92 ab=516$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 516.

$$-1,-516 -2,-258 -3,-172 -4,-129 -6,-86 -12,-43$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-516=-517 -2-258=-260 -3-172=-175 -4-129=-133 -6-86=-92 -12-43=-55$$

A solución é a parella que fornece a suma -92.

$$a=-86 b=-6$$

Reescribe a expresión factorizada \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(x-86\right)\left(x-6\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-86=0 e x-6=0.

$$x=86 x=6$$

Substitúe x por 86 na ecuación \sqrt{x-5}+\sqrt{2x-3}=4.

$$\sqrt{86-5}+\sqrt{2\times 86-3}=4$$

Simplifica. O valor x=86 non cumpre a ecuación.

$$22=4$$

Substitúe x por 6 na ecuación \sqrt{x-5}+\sqrt{2x-3}=4.

$$\sqrt{6-5}+\sqrt{2\times 6-3}=4$$

Simplifica. O valor x=6 cumpre a ecuación.

$$4=4$$

A ecuación \sqrt{x-5}=-\sqrt{2x-3}+4 ten unha solución única.

$$x=6$$