Resolver sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt{ x+3 } + \sqrt{ x+6 } = \sqrt{ x+11 }$$

Resolver x

$$x=-2$$

Pasos da solución

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+3} á potencia de 2 e obtén x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+6} á potencia de 2 e obtén x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Combina x e x para obter 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Suma 3 e 6 para obter 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+11} á potencia de 2 e obtén x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Resta 2x+9 en ambos lados da ecuación.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Para calcular o oposto de 2x+9, calcula o oposto de cada termo.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Combina x e -2x para obter -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Resta 9 de 11 para obter 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Expande \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calcula 2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+3} á potencia de 2 e obtén x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+6} á potencia de 2 e obtén x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Aplicar a propiedade distributiva multiplicando cada termo de 4x+12 por cada termo de x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Combina 24x e 12x para obter 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Engadir 4x en ambos lados.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Combina 36x e 4x para obter 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Resta 4 en ambos lados.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Resta 4 de 72 para obter 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3x^{2}+ax+bx+68. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

A solución é a parella que fornece a suma 40.

$$a=6 b=34$$

Reescribe 3x^{2}+40x+68 como \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e 34 no grupo segundo.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Factoriza o termo común x+2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x+2=0 e 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Substitúe x por -\frac{34}{3} na ecuación \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. A expresión \sqrt{-\frac{34}{3}+3} está sen definir porque o radicando non pode ser negativo.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Substitúe x por -2 na ecuación \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Simplifica. O valor x=-2 cumpre a ecuación.

$$3=3$$

A ecuación \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} ten unha solución única.

$$x=-2$$