Resolver sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Resolver x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2.618033989$$

Pasos da solución

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x} á potencia de 2 e obtén x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Engadir 2x en ambos lados.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Combina x e 2x para obter 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Resta 1 en ambos lados.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por 3 e c por -1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 3 ao cadrado.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 9 a -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} se ± é máis. Suma -3 a \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Divide -3+\sqrt{5} entre -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} se ± é menos. Resta \sqrt{5} de -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Divide -3-\sqrt{5} entre -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Substitúe x por \frac{3-\sqrt{5}}{2} na ecuación \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Simplifica. O valor x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} non cumpre a ecuación porque a parte esquerda e a dereita teñen signos contrarios.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Substitúe x por \frac{\sqrt{5}+3}{2} na ecuación \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Simplifica. O valor x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} cumpre a ecuación.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

A ecuación \sqrt{x}=x-1 ten unha solución única.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$