Resolver sqrt{4y+1}-sqrt{y-2}=3

$$\sqrt{ 4y+1 } - \sqrt{ y-2 } =3$$

Resolver y

$$y=6$$

$$y=2$$

Pasos da solución

Resta -\sqrt{y-2} en ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{4y+1}=3+\sqrt{y-2}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{4y+1}\right)^{2}=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{4y+1} á potencia de 2 e obtén 4y+1.

$$4y+1=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{y-2} á potencia de 2 e obtén y-2.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+y-2$$

Resta 2 de 9 para obter 7.

$$4y+1=7+6\sqrt{y-2}+y$$

Resta 7+y en ambos lados da ecuación.

$$4y+1-\left(7+y\right)=6\sqrt{y-2}$$

Para calcular o oposto de 7+y, calcula o oposto de cada termo.

$$4y+1-7-y=6\sqrt{y-2}$$

Resta 7 de 1 para obter -6.

$$4y-6-y=6\sqrt{y-2}$$

Combina 4y e -y para obter 3y.

$$3y-6=6\sqrt{y-2}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(3y-6\right)^{2}=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3y-6\right)^{2}.

$$9y^{2}-36y+36=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Expande \left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}.

$$9y^{2}-36y+36=6^{2}\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calcula 6 á potencia de 2 e obtén 36.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{y-2} á potencia de 2 e obtén y-2.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(y-2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 36 por y-2.

$$9y^{2}-36y+36=36y-72$$

Resta 36y en ambos lados.

$$9y^{2}-36y+36-36y=-72$$

Combina -36y e -36y para obter -72y.

$$9y^{2}-72y+36=-72$$

Engadir 72 en ambos lados.

$$9y^{2}-72y+36+72=0$$

Suma 36 e 72 para obter 108.

$$9y^{2}-72y+108=0$$

Divide ambos lados entre 9.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como y^{2}+ay+by+12. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

A solución é a parella que fornece a suma -8.

$$a=-6 b=-2$$

Reescribe y^{2}-8y+12 como \left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right).

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right)$$

Factoriza y no primeiro e -2 no grupo segundo.

$$y\left(y-6\right)-2\left(y-6\right)$$

Factoriza o termo común y-6 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve y-6=0 e y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Substitúe y por 6 na ecuación \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 6+1}-\sqrt{6-2}=3$$

Simplifica. O valor y=6 cumpre a ecuación.

$$3=3$$

Substitúe y por 2 na ecuación \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 2+1}-\sqrt{2-2}=3$$

Simplifica. O valor y=2 cumpre a ecuación.

$$3=3$$

Lista de solucións para \sqrt{4y+1}=\sqrt{y-2}+3.

$$y=6 y=2$$