Resolver sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Resolver x

$$x=14$$

$$x=6$$

Pasos da solución

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-3} á potencia de 2 e obtén 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-5} á potencia de 2 e obtén x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Resta 5 de 4 para obter -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Resta -1+x en ambos lados da ecuación.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Para calcular o oposto de -1+x, calcula o oposto de cada termo.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Suma -3 e 1 para obter -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Combina 2x e -x para obter x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Expande \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcula 4 á potencia de 2 e obtén 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-5} á potencia de 2 e obtén x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 16 por x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Resta 16x en ambos lados.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Combina -4x e -16x para obter -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Engadir 80 en ambos lados.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Suma 4 e 80 para obter 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza x^{2}-20x+84 usando fórmulas x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-20 ab=84$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 84.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

A solución é a parella que fornece a suma -20.

$$a=-14 b=-6$$

Reescribe a expresión factorizada \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-14=0 e x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Substitúe x por 14 na ecuación \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Simplifica. O valor x=14 cumpre a ecuación.

$$5=5$$

Substitúe x por 6 na ecuación \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Simplifica. O valor x=6 cumpre a ecuación.

$$3=3$$

Lista de solucións para \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$