Resolver sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Resolver x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Pasos da solución

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

O mínimo común múltiplo de 2 e 4 é 4. Converte \frac{1}{2} e \frac{1}{4} a fraccións co denominador 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Dado que \frac{2}{4} e \frac{1}{4} teñen o mesmo denominador, súmaos mediante a suma dos seus numeradores.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Suma 2 e 1 para obter 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

O mínimo común múltiplo de 4 e 8 é 8. Converte \frac{3}{4} e \frac{1}{8} a fraccións co denominador 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Dado que \frac{6}{8} e \frac{1}{8} teñen o mesmo denominador, súmaos mediante a suma dos seus numeradores.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Suma 6 e 1 para obter 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

O mínimo común múltiplo de 8 e 16 é 16. Converte \frac{7}{8} e \frac{1}{16} a fraccións co denominador 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Dado que \frac{14}{16} e \frac{1}{16} teñen o mesmo denominador, súmaos mediante a suma dos seus numeradores.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Suma 14 e 1 para obter 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Calcula \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} á potencia de 2 e obtén \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por \frac{1}{2} e c por \frac{15}{16} na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva \frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Suma \frac{1}{4} a \frac{15}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} se ± é máis. Suma -\frac{1}{2} a 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Divide \frac{3}{2} entre -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} se ± é menos. Resta 2 de -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Divide -\frac{5}{2} entre -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

A ecuación está resolta.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Substitúe x por -\frac{3}{4} na ecuación \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Simplifica. O valor x=-\frac{3}{4} non cumpre a ecuación porque a parte esquerda e a dereita teñen signos contrarios.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Substitúe x por \frac{5}{4} na ecuación \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Simplifica. O valor x=\frac{5}{4} cumpre a ecuación.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

A ecuación \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x ten unha solución única.

$$x=\frac{5}{4}$$