Resolver sqrt{x-1}=7-x

$$\sqrt { x - 1 } = 7 - x$$

Resolver x

$$x=5$$

Pasos da solución

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(7-x\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-1} á potencia de 2 e obtén x-1.

$$x-1=\left(7-x\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(7-x\right)^{2}.

$$x-1=49-14x+x^{2}$$

Resta 49 en ambos lados.

$$x-1-49=-14x+x^{2}$$

Resta 49 de -1 para obter -50.

$$x-50=-14x+x^{2}$$

Engadir 14x en ambos lados.

$$x-50+14x=x^{2}$$

Combina x e 14x para obter 15x.

$$15x-50=x^{2}$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$15x-50-x^{2}=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-x^{2}+15x-50=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -x^{2}+ax+bx-50. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=15 ab=-\left(-50\right)=50$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 50.

$$1,50 2,25 5,10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+50=51 2+25=27 5+10=15$$

A solución é a parella que fornece a suma 15.

$$a=10 b=5$$

Reescribe -x^{2}+15x-50 como \left(-x^{2}+10x\right)+\left(5x-50\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(5x-50\right)$$

Factoriza -x no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$-x\left(x-10\right)+5\left(x-10\right)$$

Factoriza o termo común x-10 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(-x+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-10=0 e -x+5=0.

$$x=10 x=5$$

Substitúe x por 10 na ecuación \sqrt{x-1}=7-x.

$$\sqrt{10-1}=7-10$$

Simplifica. O valor x=10 non cumpre a ecuación porque a parte esquerda e a dereita teñen signos contrarios.

$$3=-3$$

Substitúe x por 5 na ecuación \sqrt{x-1}=7-x.

$$\sqrt{5-1}=7-5$$

Simplifica. O valor x=5 cumpre a ecuación.

$$2=2$$

A ecuación \sqrt{x-1}=7-x ten unha solución única.

$$x=5$$