Resolver sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Resolver x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0.732050808$$

Pasos da solución

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x^{2}-1} á potencia de 2 e obtén x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x+1} á potencia de 2 e obtén 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Resta 2x en ambos lados.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Resta 1 en ambos lados.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Resta 1 de -1 para obter -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -2 e c por -2 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Eleva -2 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Suma 4 a 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

O contrario de -2 é 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} se ± é máis. Suma 2 a 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Divide 2+2\sqrt{3} entre 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} se ± é menos. Resta 2\sqrt{3} de 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Divide 2-2\sqrt{3} entre 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Substitúe x por \sqrt{3}+1 na ecuación \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Simplifica. O valor x=\sqrt{3}+1 cumpre a ecuación.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Substitúe x por 1-\sqrt{3} na ecuación \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Simplifica. O valor x=1-\sqrt{3} cumpre a ecuación.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Lista de solucións para \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Resolver x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

Pasos da solución

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x^{2}-1} á potencia de 2 e obtén x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x+1} á potencia de 2 e obtén 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Resta 2x en ambos lados.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Resta 1 en ambos lados.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Resta 1 de -1 para obter -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 1, b por -2 e c por -2 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Eleva -2 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Suma 4 a 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Obtén a raíz cadrada de 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

O contrario de -2 é 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} se ± é máis. Suma 2 a 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Divide 2+2\sqrt{3} entre 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} se ± é menos. Resta 2\sqrt{3} de 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Divide 2-2\sqrt{3} entre 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Substitúe x por \sqrt{3}+1 na ecuación \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Simplifica. O valor x=\sqrt{3}+1 cumpre a ecuación.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Substitúe x por 1-\sqrt{3} na ecuación \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. A expresión \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} está sen definir porque o radicando non pode ser negativo.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

A ecuación \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} ten unha solución única.

$$x=\sqrt{3}+1$$