Resolver sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

Resolver x

$$x=9$$

Pasos da solución

Resta -\sqrt{13-x} en ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+7} á potencia de 2 e obtén x+7.

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{13-x} á potencia de 2 e obtén 13-x.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

Suma 4 e 13 para obter 17.

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

Resta 17-x en ambos lados da ecuación.

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

Para calcular o oposto de 17-x, calcula o oposto de cada termo.

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

Resta 17 de 7 para obter -10.

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

Combina x e x para obter 2x.

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-10\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Expande \left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calcula 4 á potencia de 2 e obtén 16.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{13-x} á potencia de 2 e obtén 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 16 por 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

Resta 208 en ambos lados.

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

Resta 208 de 100 para obter -108.

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

Engadir 16x en ambos lados.

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

Combina -40x e 16x para obter -24x.

$$4x^{2}-24x-108=0$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx-27. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -27.

$$1,-27 3,-9$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

A solución é a parella que fornece a suma -6.

$$a=-9 b=3$$

Reescribe x^{2}-6x-27 como \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

Factoriza x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Factoriza o termo común x-9 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-9=0 e x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Substitúe x por 9 na ecuación \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Simplifica. O valor x=9 cumpre a ecuación.

$$2=2$$

Substitúe x por -3 na ecuación \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

Simplifica. O valor x=-3 non cumpre a ecuación porque a parte esquerda e a dereita teñen signos contrarios.

$$-2=2$$

Substitúe x por 9 na ecuación \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Simplifica. O valor x=9 cumpre a ecuación.

$$2=2$$

A ecuación \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 ten unha solución única.

$$x=9$$