Resolver sqrt{x+5}=sqrt{8-x}+1

$$\sqrt { x + 5 } = \sqrt { 8 - x } + 1$$

Resolver x

$$x=4$$

Pasos da solución

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(\sqrt{8-x}+1\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+5} á potencia de 2 e obtén x+5.

$$x+5=\left(\sqrt{8-x}+1\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{8-x}+1\right)^{2}.

$$x+5=\left(\sqrt{8-x}\right)^{2}+2\sqrt{8-x}+1$$

Calcula \sqrt{8-x} á potencia de 2 e obtén 8-x.

$$x+5=8-x+2\sqrt{8-x}+1$$

Suma 8 e 1 para obter 9.

$$x+5=9-x+2\sqrt{8-x}$$

Resta 9-x en ambos lados da ecuación.

$$x+5-\left(9-x\right)=2\sqrt{8-x}$$

Para calcular o oposto de 9-x, calcula o oposto de cada termo.

$$x+5-9+x=2\sqrt{8-x}$$

Resta 9 de 5 para obter -4.

$$x-4+x=2\sqrt{8-x}$$

Combina x e x para obter 2x.

$$2x-4=2\sqrt{8-x}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(2x-4\right)^{2}=\left(2\sqrt{8-x}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-4\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=\left(2\sqrt{8-x}\right)^{2}$$

Expande \left(2\sqrt{8-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=2^{2}\left(\sqrt{8-x}\right)^{2}$$

Calcula 2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$4x^{2}-16x+16=4\left(\sqrt{8-x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{8-x} á potencia de 2 e obtén 8-x.

$$4x^{2}-16x+16=4\left(8-x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 8-x.

$$4x^{2}-16x+16=32-4x$$

Resta 32 en ambos lados.

$$4x^{2}-16x+16-32=-4x$$

Resta 32 de 16 para obter -16.

$$4x^{2}-16x-16=-4x$$

Engadir 4x en ambos lados.

$$4x^{2}-16x-16+4x=0$$

Combina -16x e 4x para obter -12x.

$$4x^{2}-12x-16=0$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x^{2}-3x-4=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx-4. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -4.

$$1,-4 2,-2$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-4=-3 2-2=0$$

A solución é a parella que fornece a suma -3.

$$a=-4 b=1$$

Reescribe x^{2}-3x-4 como \left(x^{2}-4x\right)+\left(x-4\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(x-4\right)$$

Factorizar x en x^{2}-4x.

$$x\left(x-4\right)+x-4$$

Factoriza o termo común x-4 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(x+1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-4=0 e x+1=0.

$$x=4 x=-1$$

Substitúe x por 4 na ecuación \sqrt{x+5}=\sqrt{8-x}+1.

$$\sqrt{4+5}=\sqrt{8-4}+1$$

Simplifica. O valor x=4 cumpre a ecuación.

$$3=3$$

Substitúe x por -1 na ecuación \sqrt{x+5}=\sqrt{8-x}+1.

$$\sqrt{-1+5}=\sqrt{8-\left(-1\right)}+1$$

Simplifica. O valor x=-1 non cumpre a ecuación.

$$2=4$$

Substitúe x por 4 na ecuación \sqrt{x+5}=\sqrt{8-x}+1.

$$\sqrt{4+5}=\sqrt{8-4}+1$$

Simplifica. O valor x=4 cumpre a ecuación.

$$3=3$$

A ecuación \sqrt{x+5}=\sqrt{8-x}+1 ten unha solución única.

$$x=4$$