Resolver sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Resolver x

$$x=2$$

Pasos da solución

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{5x-1} á potencia de 2 e obtén 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{3x-2} á potencia de 2 e obtén 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Combina 5x e 3x para obter 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Resta 2 de -1 para obter -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-1} á potencia de 2 e obtén x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Resta 8x-3 en ambos lados da ecuación.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Para calcular o oposto de 8x-3, calcula o oposto de cada termo.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Combina x e -8x para obter -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Suma -1 e 3 para obter 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Expande \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calcula -2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{5x-1} á potencia de 2 e obtén 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{3x-2} á potencia de 2 e obtén 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Aplicar a propiedade distributiva multiplicando cada termo de 20x-4 por cada termo de 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Combina -40x e -12x para obter -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Resta 49x^{2} en ambos lados.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Combina 60x^{2} e -49x^{2} para obter 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Engadir 28x en ambos lados.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Combina -52x e 28x para obter -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Resta 4 en ambos lados.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Resta 4 de 8 para obter 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 11x^{2}+ax+bx+4. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

A solución é a parella que fornece a suma -24.

$$a=-22 b=-2$$

Reescribe 11x^{2}-24x+4 como \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Factoriza 11x no primeiro e -2 no grupo segundo.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Factoriza o termo común x-2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-2=0 e 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Substitúe x por \frac{2}{11} na ecuación \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. A expresión \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} está sen definir porque o radicando non pode ser negativo.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Substitúe x por 2 na ecuación \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Simplifica. O valor x=2 cumpre a ecuación.

$$1=1$$

A ecuación \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} ten unha solución única.

$$x=2$$