Resolver sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Resolver x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

Pasos da solución

Resta -\sqrt{15+x^{2}} en ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{25-x^{2}} á potencia de 2 e obtén 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{15+x^{2}} á potencia de 2 e obtén 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Suma 16 e 15 para obter 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Resta 31+x^{2} en ambos lados da ecuación.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Para calcular o oposto de 31+x^{2}, calcula o oposto de cada termo.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Resta 31 de 25 para obter -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Combina -x^{2} e -x^{2} para obter -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Para elevar unha potencia a outra potencia, multiplica os expoñentes. Multiplica 2 e 2 para obter 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Expande \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula 8 á potencia de 2 e obtén 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{15+x^{2}} á potencia de 2 e obtén 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 64 por 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Resta 960 en ambos lados.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Resta 960 de 36 para obter -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Resta 64x^{2} en ambos lados.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Combina 24x^{2} e -64x^{2} para obter -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Substitúe t por x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 4 por a, -40 por b e -924 por c na fórmula cadrática.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Fai os cálculos.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Resolve a ecuación t=\frac{40±128}{8} cando ± é máis e cando ± é menos.

$$t=21 t=-11$$

Desde x=t^{2}, as solucións obtéñense mediante a avaliación de x=±\sqrt{t} por cada t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Substitúe x por -\sqrt{21} na ecuación \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Simplifica. O valor x=-\sqrt{21} non cumpre a ecuación porque a parte esquerda e a dereita teñen signos contrarios.

$$-4=4$$

Substitúe x por \sqrt{21} na ecuación \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Simplifica. O valor x=\sqrt{21} non cumpre a ecuación porque a parte esquerda e a dereita teñen signos contrarios.

$$-4=4$$

Substitúe x por -\sqrt{11}i na ecuación \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Simplifica. O valor x=-\sqrt{11}i cumpre a ecuación.

$$4=4$$

Substitúe x por \sqrt{11}i na ecuación \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Simplifica. O valor x=\sqrt{11}i cumpre a ecuación.

$$4=4$$

Lista de solucións para \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$