Resolver sqrt{2x+2}-sqrt{x+8}=1

$$\sqrt { 2 x + 2 } - \sqrt { x + 8 } = 1$$

Resolver x

$$x=17$$

Pasos da solución

Resta -\sqrt{x+8} en ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{2x+2}=1+\sqrt{x+8}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{2x+2}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x+2} á potencia de 2 e obtén 2x+2.

$$2x+2=\left(1+\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(1+\sqrt{x+8}\right)^{2}.

$$2x+2=1+2\sqrt{x+8}+\left(\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+8} á potencia de 2 e obtén x+8.

$$2x+2=1+2\sqrt{x+8}+x+8$$

Suma 1 e 8 para obter 9.

$$2x+2=9+2\sqrt{x+8}+x$$

Resta 9+x en ambos lados da ecuación.

$$2x+2-\left(9+x\right)=2\sqrt{x+8}$$

Para calcular o oposto de 9+x, calcula o oposto de cada termo.

$$2x+2-9-x=2\sqrt{x+8}$$

Resta 9 de 2 para obter -7.

$$2x-7-x=2\sqrt{x+8}$$

Combina 2x e -x para obter x.

$$x-7=2\sqrt{x+8}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(x-7\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49=\left(2\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Expande \left(2\sqrt{x+8}\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49=2^{2}\left(\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Calcula 2 á potencia de 2 e obtén 4.

$$x^{2}-14x+49=4\left(\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+8} á potencia de 2 e obtén x+8.

$$x^{2}-14x+49=4\left(x+8\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x+8.

$$x^{2}-14x+49=4x+32$$

Resta 4x en ambos lados.

$$x^{2}-14x+49-4x=32$$

Combina -14x e -4x para obter -18x.

$$x^{2}-18x+49=32$$

Resta 32 en ambos lados.

$$x^{2}-18x+49-32=0$$

Resta 32 de 49 para obter 17.

$$x^{2}-18x+17=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza x^{2}-18x+17 usando fórmulas x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) . Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-18 ab=17$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. A única parella así é a solución de sistema.

$$a=-17 b=-1$$

Reescribe a expresión factorizada \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando os valores obtidos.

$$\left(x-17\right)\left(x-1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-17=0 e x-1=0.

$$x=17 x=1$$

Substitúe x por 17 na ecuación \sqrt{2x+2}-\sqrt{x+8}=1.

$$\sqrt{2\times 17+2}-\sqrt{17+8}=1$$

Simplifica. O valor x=17 cumpre a ecuación.

$$1=1$$

Substitúe x por 1 na ecuación \sqrt{2x+2}-\sqrt{x+8}=1.

$$\sqrt{2\times 1+2}-\sqrt{1+8}=1$$

Simplifica. O valor x=1 non cumpre a ecuación porque a parte esquerda e a dereita teñen signos contrarios.

$$-1=1$$

Substitúe x por 17 na ecuación \sqrt{2x+2}-\sqrt{x+8}=1.

$$\sqrt{2\times 17+2}-\sqrt{17+8}=1$$

Simplifica. O valor x=17 cumpre a ecuación.

$$1=1$$

A ecuación \sqrt{2x+2}=\sqrt{x+8}+1 ten unha solución única.

$$x=17$$