Resolver sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Resolver x

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

Pasos da solución

Resta -\sqrt{19-x^{2}} en ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{15+x^{2}} á potencia de 2 e obtén 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{19-x^{2}} á potencia de 2 e obtén 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Suma 4 e 19 para obter 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Resta 23-x^{2} en ambos lados da ecuación.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Para calcular o oposto de 23-x^{2}, calcula o oposto de cada termo.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Resta 23 de 15 para obter -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Combina x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Eleva ao cadrado ambos lados da ecuación.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Para elevar unha potencia a outra potencia, multiplica os expoñentes. Multiplica 2 e 2 para obter 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Expande \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula 4 á potencia de 2 e obtén 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{19-x^{2}} á potencia de 2 e obtén 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 16 por 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Resta 304 en ambos lados.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Resta 304 de 64 para obter -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Engadir 16x^{2} en ambos lados.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Combina -32x^{2} e 16x^{2} para obter -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Substitúe t por x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 4 por a, -16 por b e -240 por c na fórmula cadrática.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Fai os cálculos.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Resolve a ecuación t=\frac{16±64}{8} cando ± é máis e cando ± é menos.

$$t=10 t=-6$$

Desde x=t^{2}, as solucións obtéñense mediante a avaliación de x=±\sqrt{t} por t positivo.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Substitúe x por \sqrt{10} na ecuación \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Simplifica. O valor x=\sqrt{10} cumpre a ecuación.

$$2=2$$

Substitúe x por -\sqrt{10} na ecuación \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Simplifica. O valor x=-\sqrt{10} cumpre a ecuación.

$$2=2$$

Lista de solucións para \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$