Resolver {l}{x-y=4}{3x-y=7}

$$\left.\begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right\}$$

Resolver x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=4,3x-y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=4$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+4$$

Substitúe x por y+4 na outra ecuación, 3x-y=7.

$$3\left(y+4\right)-y=7$$

Multiplica 3 por y+4.

$$3y+12-y=7$$

Suma 3y a -y.

$$2y+12=7$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$2y=-5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Substitúe y por -\frac{5}{2} en x=y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{2}+4$$

Suma 4 a -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=4,3x-y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{3}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=4,3x-y=7$$

Resta 3x-y=7 de x-y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-3x-y+y=4-7$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x-3x=4-7$$

Suma x a -3x.

$$-2x=4-7$$

Suma 4 a -7.

$$-2x=-3$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{3}{2} en 3x-y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3\times \frac{3}{2}-y=7$$

Multiplica 3 por \frac{3}{2}.

$$\frac{9}{2}-y=7$$

Resta \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-y=\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-\frac{5}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$