Resolver {l}{4x-y=-14}{3x-y=-11}

$$\left.\begin{array} { l } { 4 x - y = - 14 } \\ { 3 x - y = - 11 } \end{array} \right\}$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-y=-14$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$4x=y-14$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y-14\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por y-14.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{7}{2}$$

Substitúe x por \frac{y}{4}-\frac{7}{2} na outra ecuación, 3x-y=-11.

$$3\left(\frac{1}{4}y-\frac{7}{2}\right)-y=-11$$

Multiplica 3 por \frac{y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{3}{4}y-\frac{21}{2}-y=-11$$

Suma \frac{3y}{4} a -y.

$$-\frac{1}{4}y-\frac{21}{2}=-11$$

Suma \frac{21}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Multiplica ambos lados por -4.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=\frac{1}{4}y-\frac{7}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Multiplica \frac{1}{4} por 2.

$$x=\frac{1-7}{2}$$

Suma -\frac{7}{2} a \frac{1}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14-\left(-11\right)\\3\left(-14\right)-4\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-y=-14,3x-y=-11$$

Resta 3x-y=-11 de 4x-y=-14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-3x-y+y=-14+11$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4x-3x=-14+11$$

Suma 4x a -3x.

$$x=-14+11$$

Suma -14 a 11.

$$x=-3$$

Substitúe x por -3 en 3x-y=-11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3\left(-3\right)-y=-11$$

Multiplica 3 por -3.

$$-9-y=-11$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-2$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=2$$