Resolver {l}{4*(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}

$$\left.\begin{array} { l } { 4 \cdot ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x+2y.

$$4x+8y-x=-y$$

Combina 4x e -x para obter 3x.

$$3x+8y=-y$$

Engadir y en ambos lados.

$$3x+8y+y=0$$

Combina 8y e y para obter 9y.

$$3x+9y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$-3x-2y=-4-x$$

Engadir x en ambos lados.

$$-3x-2y+x=-4$$

Combina -3x e x para obter -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+9y=0$$

Resta 9y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-9y$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-9\right)y$$

Multiplica \frac{1}{3} por -9y.

$$x=-3y$$

Substitúe x por -3y na outra ecuación, -2x-2y=-4.

$$-2\left(-3\right)y-2y=-4$$

Multiplica -2 por -3y.

$$6y-2y=-4$$

Suma 6y a -2y.

$$4y=-4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-3y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3\left(-1\right)$$

Multiplica -3 por -1.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x+2y.

$$4x+8y-x=-y$$

Combina 4x e -x para obter 3x.

$$3x+8y=-y$$

Engadir y en ambos lados.

$$3x+8y+y=0$$

Combina 8y e y para obter 9y.

$$3x+9y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$-3x-2y=-4-x$$

Engadir x en ambos lados.

$$-3x-2y+x=-4$$

Combina -3x e x para obter -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x+2y.

$$4x+8y-x=-y$$

Combina 4x e -x para obter 3x.

$$3x+8y=-y$$

Engadir y en ambos lados.

$$3x+8y+y=0$$

Combina 8y e y para obter 9y.

$$3x+9y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$-3x-2y=-4-x$$

Engadir x en ambos lados.

$$-3x-2y+x=-4$$

Combina -3x e x para obter -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Para que 3x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-2\times 3x-2\times 9y=0,3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

Simplifica.

$$-6x-18y=0,-6x-6y=-12$$

Resta -6x-6y=-12 de -6x-18y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-6x+6x-18y+6y=12$$

Suma -6x a 6x. -6x e 6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-18y+6y=12$$

Suma -18y a 6y.

$$-12y=12$$

Divide ambos lados entre -12.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en -2x-2y=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-2\left(-1\right)=-4$$

Multiplica -2 por -1.

$$-2x+2=-4$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-6$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-1$$