Resolver {l}{3x+5y=4}{x-3y=6}

$$\left.\begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right\}$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+5y=4$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-5y+4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Substitúe x por \frac{-5y+4}{3} na outra ecuación, x-3y=6.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-3y=6$$

Suma -\frac{5y}{3} a -3y.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{4}{3}=6$$

Resta \frac{4}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{14}{3}y=\frac{14}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{14}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{4}{3}$$

Multiplica -\frac{5}{3} por -1.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

Suma \frac{4}{3} a \frac{5}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-5}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 4+\frac{5}{14}\times 6\\\frac{1}{14}\times 4-\frac{3}{14}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x+5y=4,3x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

Simplifica.

$$3x+5y=4,3x-9y=18$$

Resta 3x-9y=18 de 3x+5y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+5y+9y=4-18$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y+9y=4-18$$

Suma 5y a 9y.

$$14y=4-18$$

Suma 4 a -18.

$$14y=-14$$

Divide ambos lados entre 14.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x-3y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-3\left(-1\right)=6$$

Multiplica -3 por -1.

$$x+3=6$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=-1$$