Resolver {l}{2x+3y=13}{3x-2y=0}

$$\left.\begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { 3 x - 2 y = 0 } \end{array} \right\}$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=13,3x-2y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=13$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+13$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+13.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

Substitúe x por \frac{-3y+13}{2} na outra ecuación, 3x-2y=0.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=0$$

Multiplica 3 por \frac{-3y+13}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{39}{2}-2y=0$$

Suma -\frac{9y}{2} a -2y.

$$-\frac{13}{2}y+\frac{39}{2}=0$$

Resta \frac{39}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{13}{2}y=-\frac{39}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{13}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{13}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 3.

$$x=\frac{-9+13}{2}$$

Suma \frac{13}{2} a -\frac{9}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=13,3x-2y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 13\\\frac{3}{13}\times 13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=13,3x-2y=0$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 13,2\times 3x+2\left(-2\right)y=0$$

Simplifica.

$$6x+9y=39,6x-4y=0$$

Resta 6x-4y=0 de 6x+9y=39 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+9y+4y=39$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y+4y=39$$

Suma 9y a 4y.

$$13y=39$$

Divide ambos lados entre 13.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 3x-2y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2\times 3=0$$

Multiplica -2 por 3.

$$3x-6=0$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$3x=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$