Resolver {l}{10x+2y=-78}{-3x-2y=-29}

$$\left.\begin{array} { l } { 10 x + 2 y = - 78 } \\ { - 3 x - 2 y = - 29 } \end{array} \right\}$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{107}{7} = -15\frac{2}{7} \approx -15.285714286$$

$$y = \frac{262}{7} = 37\frac{3}{7} \approx 37.428571429$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$10x+2y=-78$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$10x=-2y-78$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y-78\right)$$

Multiplica \frac{1}{10} por -2y-78.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}$$

Substitúe x por \frac{-y-39}{5} na outra ecuación, -3x-2y=-29.

$$-3\left(-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}\right)-2y=-29$$

Multiplica -3 por \frac{-y-39}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}-2y=-29$$

Suma \frac{3y}{5} a -2y.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{117}{5}=-29$$

Resta \frac{117}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{262}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{262}{7}$$

Substitúe y por \frac{262}{7} en x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{262}{7}-\frac{39}{5}$$

Multiplica -\frac{1}{5} por \frac{262}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{262}{35}-\frac{39}{5}$$

Suma -\frac{39}{5} a -\frac{262}{35} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{107}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-78\right)+\frac{1}{7}\left(-29\right)\\-\frac{3}{14}\left(-78\right)-\frac{5}{7}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{107}{7}\\\frac{262}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Para que 10x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 10.

$$-3\times 10x-3\times 2y=-3\left(-78\right),10\left(-3\right)x+10\left(-2\right)y=10\left(-29\right)$$

Simplifica.

$$-30x-6y=234,-30x-20y=-290$$

Resta -30x-20y=-290 de -30x-6y=234 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-30x+30x-6y+20y=234+290$$

Suma -30x a 30x. -30x e 30x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y+20y=234+290$$

Suma -6y a 20y.

$$14y=234+290$$

Suma 234 a 290.

$$14y=524$$

Divide ambos lados entre 14.

$$y=\frac{262}{7}$$

Substitúe y por \frac{262}{7} en -3x-2y=-29. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x-2\times \frac{262}{7}=-29$$

Multiplica -2 por \frac{262}{7}.

$$-3x-\frac{524}{7}=-29$$

Suma \frac{524}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-3x=\frac{321}{7}$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-\frac{107}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$