Resolver {l}{-x-y=-6}{2x-3y=-3}

$$\left.\begin{array} { l } { - x - y = - 6 } \\ { 2 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right\}$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x-y=-6,2x-3y=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x-y=-6$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$-x=y-6$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(y-6\right)$$

Multiplica -1 por y-6.

$$x=-y+6$$

Substitúe x por -y+6 na outra ecuación, 2x-3y=-3.

$$2\left(-y+6\right)-3y=-3$$

Multiplica 2 por -y+6.

$$-2y+12-3y=-3$$

Suma -2y a -3y.

$$-5y+12=-3$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=-15$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3+6$$

Suma 6 a -3.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x-y=-6,2x-3y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-\left(-3\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-\left(-3\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-\left(-3\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-3\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{5}\left(-3\right)\\-\frac{2}{5}\left(-6\right)-\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x-y=-6,2x-3y=-3$$

Para que -x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-1\right)y=2\left(-6\right),-2x-\left(-3y\right)=-\left(-3\right)$$

Simplifica.

$$-2x-2y=-12,-2x+3y=3$$

Resta -2x+3y=3 de -2x-2y=-12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-2y-3y=-12-3$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y-3y=-12-3$$

Suma -2y a -3y.

$$-5y=-12-3$$

Suma -12 a -3.

$$-5y=-15$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 2x-3y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-3\times 3=-3$$

Multiplica -3 por 3.

$$2x-9=-3$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$2x=6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=3$$