Resolver {l}{-(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}

$$\left.\begin{array} { l } { - ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Para calcular o oposto de x+2y, calcula o oposto de cada termo.

$$-x-2y-x=-y$$

Combina -x e -x para obter -2x.

$$-2x-2y=-y$$

Engadir y en ambos lados.

$$-2x-2y+y=0$$

Combina -2y e y para obter -y.

$$-2x-y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$-3x-2y=-4-x$$

Engadir x en ambos lados.

$$-3x-2y+x=-4$$

Combina -3x e x para obter -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-2x-y=0$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$-2x=y$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{1}{2}y$$

Substitúe x por -\frac{y}{2} na outra ecuación, -2x-2y=-4.

$$-2\left(-\frac{1}{2}\right)y-2y=-4$$

Multiplica -2 por -\frac{y}{2}.

$$y-2y=-4$$

Suma y a -2y.

$$-y=-4$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=-\frac{1}{2}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 4.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Para calcular o oposto de x+2y, calcula o oposto de cada termo.

$$-x-2y-x=-y$$

Combina -x e -x para obter -2x.

$$-2x-2y=-y$$

Engadir y en ambos lados.

$$-2x-2y+y=0$$

Combina -2y e y para obter -y.

$$-2x-y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$-3x-2y=-4-x$$

Engadir x en ambos lados.

$$-3x-2y+x=-4$$

Combina -3x e x para obter -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-4\right)\\-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Para calcular o oposto de x+2y, calcula o oposto de cada termo.

$$-x-2y-x=-y$$

Combina -x e -x para obter -2x.

$$-2x-2y=-y$$

Engadir y en ambos lados.

$$-2x-2y+y=0$$

Combina -2y e y para obter -y.

$$-2x-y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2y en ambos lados.

$$-3x-2y=-4-x$$

Engadir x en ambos lados.

$$-3x-2y+x=-4$$

Combina -3x e x para obter -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

Resta -2x-2y=-4 de -2x-y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-y+2y=4$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y+2y=4$$

Suma -y a 2y.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en -2x-2y=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-2\times 4=-4$$

Multiplica -2 por 4.

$$-2x-8=-4$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=4$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=4$$