Resolver {c}{x+y=200}{10x+50y=8.000}

$$\left.\begin{array} { c } { x + y = 200 } \\ { 10 x + 50 y = 8.000 } \end{array} \right\}$$

Resolver x, y

$$x = \frac{1249}{5} = 249\frac{4}{5} = 249.8$$

$$y = -\frac{249}{5} = -49\frac{4}{5} = -49.8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=200,10x+50y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=200$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+200$$

Substitúe x por -y+200 na outra ecuación, 10x+50y=8.

$$10\left(-y+200\right)+50y=8$$

Multiplica 10 por -y+200.

$$-10y+2000+50y=8$$

Suma -10y a 50y.

$$40y+2000=8$$

Resta 2000 en ambos lados da ecuación.

$$40y=-1992$$

Divide ambos lados entre 40.

$$y=-\frac{249}{5}$$

Substitúe y por -\frac{249}{5} en x=-y+200. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-\frac{249}{5}\right)+200$$

Multiplica -1 por -\frac{249}{5}.

$$x=\frac{249}{5}+200$$

Suma 200 a \frac{249}{5}.

$$x=\frac{1249}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1249}{5},y=-\frac{249}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=200,10x+50y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\10&50\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-10}&-\frac{1}{50-10}\\-\frac{10}{50-10}&\frac{1}{50-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{1}{40}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\times 200-\frac{1}{40}\times 8\\-\frac{1}{4}\times 200+\frac{1}{40}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1249}{5}\\-\frac{249}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1249}{5},y=-\frac{249}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=200,10x+50y=8$$

Para que x e 10x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 10 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$10x+10y=10\times 200,10x+50y=8$$

Simplifica.

$$10x+10y=2000,10x+50y=8$$

Resta 10x+50y=8 de 10x+10y=2000 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+10y-50y=2000-8$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y-50y=2000-8$$

Suma 10y a -50y.

$$-40y=2000-8$$

Suma 2000 a -8.

$$-40y=1992$$

Divide ambos lados entre -40.

$$y=-\frac{249}{5}$$

Substitúe y por -\frac{249}{5} en 10x+50y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$10x+50\left(-\frac{249}{5}\right)=8$$

Multiplica 50 por -\frac{249}{5}.

$$10x-2490=8$$

Suma 2490 en ambos lados da ecuación.

$$10x=2498$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=\frac{1249}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1249}{5},y=-\frac{249}{5}$$