Resolver {c}{-2(x+y)=12}{5(x+1)-4(y+3)=17}

$$\left.\begin{array} { c } { - 2 ( x + y ) = 12 } \\ { 5 ( x + 1 ) - 4 ( y + 3 ) = 17 } \end{array} \right\}$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=-6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Divide ambos lados entre -2.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

Divide 12 entre -2 para obter -6.

$$x+y=-6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+1.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -4 por y+3.

$$5x+5-4y-12=17$$

Resta 12 de 5 para obter -7.

$$5x-7-4y=17$$

Engadir 7 en ambos lados.

$$5x-4y=17+7$$

Suma 17 e 7 para obter 24.

$$5x-4y=24$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=-6$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y-6$$

Substitúe x por -y-6 na outra ecuación, 5x-4y=24.

$$5\left(-y-6\right)-4y=24$$

Multiplica 5 por -y-6.

$$-5y-30-4y=24$$

Suma -5y a -4y.

$$-9y-30=24$$

Suma 30 en ambos lados da ecuación.

$$-9y=54$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en x=-y-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-6\right)-6$$

Multiplica -1 por -6.

$$x=6-6$$

Suma -6 a 6.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-6$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Divide ambos lados entre -2.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

Divide 12 entre -2 para obter -6.

$$x+y=-6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+1.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -4 por y+3.

$$5x+5-4y-12=17$$

Resta 12 de 5 para obter -7.

$$5x-7-4y=17$$

Engadir 7 en ambos lados.

$$5x-4y=17+7$$

Suma 17 e 7 para obter 24.

$$5x-4y=24$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-5}&-\frac{1}{-4-5}\\-\frac{5}{-4-5}&\frac{1}{-4-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{9}\times 24\\\frac{5}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=-6$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Divide ambos lados entre -2.

$$x+y=\frac{12}{-2}$$

Divide 12 entre -2 para obter -6.

$$x+y=-6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+1.

$$5x+5-4\left(y+3\right)=17$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -4 por y+3.

$$5x+5-4y-12=17$$

Resta 12 de 5 para obter -7.

$$5x-7-4y=17$$

Engadir 7 en ambos lados.

$$5x-4y=17+7$$

Suma 17 e 7 para obter 24.

$$5x-4y=24$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=-6,5x-4y=24$$

Para que x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$5x+5y=5\left(-6\right),5x-4y=24$$

Simplifica.

$$5x+5y=-30,5x-4y=24$$

Resta 5x-4y=24 de 5x+5y=-30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x+5y+4y=-30-24$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y+4y=-30-24$$

Suma 5y a 4y.

$$9y=-30-24$$

Suma -30 a -24.

$$9y=-54$$

Divide ambos lados entre 9.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en 5x-4y=24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-4\left(-6\right)=24$$

Multiplica -4 por -6.

$$5x+24=24$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$5x=0$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-6$$