Resolver {c}{27/5+4/5*y=-4*x+3/5}{8*x=-8-3*y}

$$\left.\begin{array} { c } { \frac { 27 } { 5 } + \frac { 4 } { 5 } \cdot y = \frac { - 4 \cdot x + 3 } { 5 } } \\ { 8 \cdot x = - 8 - 3 \cdot y } \end{array} \right\}$$

Resolver y, x

$$x=2$$

$$y=-8$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 5.

$$27+4y=-4x+3$$

Engadir 4x en ambos lados.

$$27+4y+4x=3$$

Resta 27 en ambos lados.

$$4y+4x=3-27$$

Resta 27 de 3 para obter -24.

$$4y+4x=-24$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3y en ambos lados.

$$8x+3y=-8$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$4y+4x=-24$$

Resta 4x en ambos lados da ecuación.

$$4y=-4x-24$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(-4x-24\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -4x-24.

$$y=-x-6$$

Substitúe y por -x-6 na outra ecuación, 3y+8x=-8.

$$3\left(-x-6\right)+8x=-8$$

Multiplica 3 por -x-6.

$$-3x-18+8x=-8$$

Suma -3x a 8x.

$$5x-18=-8$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$5x=10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y=-x-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-2-6$$

Suma -6 a -2.

$$y=-8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-8,x=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 5.

$$27+4y=-4x+3$$

Engadir 4x en ambos lados.

$$27+4y+4x=3$$

Resta 27 en ambos lados.

$$4y+4x=3-27$$

Resta 27 de 3 para obter -24.

$$4y+4x=-24$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3y en ambos lados.

$$8x+3y=-8$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-4\times 3}&-\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\\-\frac{3}{4\times 8-4\times 3}&\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{20}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-24\right)-\frac{1}{5}\left(-8\right)\\-\frac{3}{20}\left(-24\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-8,x=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 5.

$$27+4y=-4x+3$$

Engadir 4x en ambos lados.

$$27+4y+4x=3$$

Resta 27 en ambos lados.

$$4y+4x=3-27$$

Resta 27 de 3 para obter -24.

$$4y+4x=-24$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3y en ambos lados.

$$8x+3y=-8$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

Para que 4y e 3y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$3\times 4y+3\times 4x=3\left(-24\right),4\times 3y+4\times 8x=4\left(-8\right)$$

Simplifica.

$$12y+12x=-72,12y+32x=-32$$

Resta 12y+32x=-32 de 12y+12x=-72 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12y-12y+12x-32x=-72+32$$

Suma 12y a -12y. 12y e -12y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12x-32x=-72+32$$

Suma 12x a -32x.

$$-20x=-72+32$$

Suma -72 a 32.

$$-20x=-40$$

Divide ambos lados entre -20.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en 3y+8x=-8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3y+8\times 2=-8$$

Multiplica 8 por 2.

$$3y+16=-8$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$3y=-24$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=-8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-8,x=2$$