Resolver {l}{y=3x-13}{4x-3y=19}

$$\left. \begin{array}{l}{ y = 3 x - 13 }\\{ 4 x - 3 y = 19 }\end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=4$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-13$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-3x=-13,-3y+4x=19$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-3x=-13$$

Suma 3x en ambos lados da ecuación.

$$y=3x-13$$

Substitúe y por 3x-13 na outra ecuación, -3y+4x=19.

$$-3\left(3x-13\right)+4x=19$$

Multiplica -3 por 3x-13.

$$-9x+39+4x=19$$

Suma -9x a 4x.

$$-5x+39=19$$

Resta 39 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-20$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y=3x-13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=3\times 4-13$$

Multiplica 3 por 4.

$$y=12-13$$

Suma -13 a 12.

$$y=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-1,x=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-13$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-3x=-13,-3y+4x=19$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\left(-13\right)-\frac{3}{5}\times 19\\-\frac{3}{5}\left(-13\right)-\frac{1}{5}\times 19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-1,x=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-13$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-3x=-13,-3y+4x=19$$

Para que y e -3y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-3y-3\left(-3\right)x=-3\left(-13\right),-3y+4x=19$$

Simplifica.

$$-3y+9x=39,-3y+4x=19$$

Resta -3y+4x=19 de -3y+9x=39 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3y+3y+9x-4x=39-19$$

Suma -3y a 3y. -3y e 3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9x-4x=39-19$$

Suma 9x a -4x.

$$5x=39-19$$

Suma 39 a -19.

$$5x=20$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en -3y+4x=19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-3y+4\times 4=19$$

Multiplica 4 por 4.

$$-3y+16=19$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=3$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-1,x=4$$