Resolver {l}{y=2x-12}{-3x+5y=-25}

$$\left. \begin{array}{l}{ y = 2 x - 12 }\\{ - 3 x + 5 y = - 25 }\end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=5$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-12$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-2x=-12,5y-3x=-25$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-2x=-12$$

Suma 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=2x-12$$

Substitúe y por -12+2x na outra ecuación, 5y-3x=-25.

$$5\left(2x-12\right)-3x=-25$$

Multiplica 5 por -12+2x.

$$10x-60-3x=-25$$

Suma 10x a -3x.

$$7x-60=-25$$

Suma 60 en ambos lados da ecuación.

$$7x=35$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=5$$

Substitúe x por 5 en y=2x-12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=2\times 5-12$$

Multiplica 2 por 5.

$$y=10-12$$

Suma -12 a 10.

$$y=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-2,x=5$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-12$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-2x=-12,5y-3x=-25$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-25\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\5&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-25\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-25\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-25\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{-3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-25\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{5}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-25\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\left(-25\right)\\-\frac{5}{7}\left(-12\right)+\frac{1}{7}\left(-25\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-2,x=5$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-12$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-2x=-12,5y-3x=-25$$

Para que y e 5y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$5y+5\left(-2\right)x=5\left(-12\right),5y-3x=-25$$

Simplifica.

$$5y-10x=-60,5y-3x=-25$$

Resta 5y-3x=-25 de 5y-10x=-60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5y-5y-10x+3x=-60+25$$

Suma 5y a -5y. 5y e -5y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-10x+3x=-60+25$$

Suma -10x a 3x.

$$-7x=-60+25$$

Suma -60 a 25.

$$-7x=-35$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=5$$

Substitúe x por 5 en 5y-3x=-25. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$5y-3\times 5=-25$$

Multiplica -3 por 5.

$$5y-15=-25$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$5y=-10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-2,x=5$$