Resolver {l}{x-2y=6}{x=10y-2}

$$\left. \begin{array}{l}{ x - 2 y = 6 }\\{ x = 10 y - 2 }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=8$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 10y en ambos lados.

$$x-10y=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-2y=6,x-10y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-2y=6$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=2y+6$$

Substitúe x por 6+2y na outra ecuación, x-10y=-2.

$$2y+6-10y=-2$$

Suma 2y a -10y.

$$-8y+6=-2$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-8y=-8$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=2y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2+6$$

Suma 6 a 2.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 10y en ambos lados.

$$x-10y=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-2y=6,x-10y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{-10-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-10-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-10-\left(-2\right)}&\frac{1}{-10-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\times 6-\frac{1}{4}\left(-2\right)\\\frac{1}{8}\times 6-\frac{1}{8}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=8,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 10y en ambos lados.

$$x-10y=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-2y=6,x-10y=-2$$

Resta x-10y=-2 de x-2y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x-2y+10y=6+2$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y+10y=6+2$$

Suma -2y a 10y.

$$8y=6+2$$

Suma 6 a 2.

$$8y=8$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x-10y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-10=-2$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=1$$