Resolver {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Suma 3 e 1 para obter 4.

$$x+2y=4+3y$$

Resta 3y en ambos lados.

$$x+2y-3y=4$$

Combina 2y e -3y para obter -y.

$$x-y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Engadir 2y en ambos lados.

$$8-y+2y=2+3x$$

Combina -y e 2y para obter y.

$$8+y=2+3x$$

Resta 3x en ambos lados.

$$8+y-3x=2$$

Resta 8 en ambos lados.

$$y-3x=2-8$$

Resta 8 de 2 para obter -6.

$$y-3x=-6$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=4$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+4$$

Substitúe x por y+4 na outra ecuación, -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

Multiplica -3 por y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

Suma -3y a y.

$$-2y-12=-6$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=6$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3+4$$

Suma 4 a -3.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Suma 3 e 1 para obter 4.

$$x+2y=4+3y$$

Resta 3y en ambos lados.

$$x+2y-3y=4$$

Combina 2y e -3y para obter -y.

$$x-y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Engadir 2y en ambos lados.

$$8-y+2y=2+3x$$

Combina -y e 2y para obter y.

$$8+y=2+3x$$

Resta 3x en ambos lados.

$$8+y-3x=2$$

Resta 8 en ambos lados.

$$y-3x=2-8$$

Resta 8 de 2 para obter -6.

$$y-3x=-6$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Suma 3 e 1 para obter 4.

$$x+2y=4+3y$$

Resta 3y en ambos lados.

$$x+2y-3y=4$$

Combina 2y e -3y para obter -y.

$$x-y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Engadir 2y en ambos lados.

$$8-y+2y=2+3x$$

Combina -y e 2y para obter y.

$$8+y=2+3x$$

Resta 3x en ambos lados.

$$8+y-3x=2$$

Resta 8 en ambos lados.

$$y-3x=2-8$$

Resta 8 de 2 para obter -6.

$$y-3x=-6$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Para que x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Simplifica.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

Resta -3x+y=-6 de -3x+3y=-12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

Suma -3x a 3x. -3x e 3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-y=-12+6$$

Suma 3y a -y.

$$2y=-12+6$$

Suma -12 a 6.

$$2y=-6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en -3x+y=-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x-3=-6$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-3$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=-3$$