Resolver {l}{m+n=-3}{2n-3m=1}

$$\left. \begin{array}{l}{ m + n = - 3 }\\{ 2 n - 3 m = 1 }\end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$n = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$m+n=-3$$

Resta n en ambos lados da ecuación.

$$m=-n-3$$

Substitúe m por -n-3 na outra ecuación, -3m+2n=1.

$$-3\left(-n-3\right)+2n=1$$

Multiplica -3 por -n-3.

$$3n+9+2n=1$$

Suma 3n a 2n.

$$5n+9=1$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$5n=-8$$

Divide ambos lados entre 5.

$$n=-\frac{8}{5}$$

Substitúe n por -\frac{8}{5} en m=-n-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=-\left(-\frac{8}{5}\right)-3$$

Multiplica -1 por -\frac{8}{5}.

$$m=\frac{8}{5}-3$$

Suma -3 a \frac{8}{5}.

$$m=-\frac{7}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

Para que m e -3m sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-3m-3n=-3\left(-3\right),-3m+2n=1$$

Simplifica.

$$-3m-3n=9,-3m+2n=1$$

Resta -3m+2n=1 de -3m-3n=9 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3m+3m-3n-2n=9-1$$

Suma -3m a 3m. -3m e 3m anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3n-2n=9-1$$

Suma -3n a -2n.

$$-5n=9-1$$

Suma 9 a -1.

$$-5n=8$$

Divide ambos lados entre -5.

$$n=-\frac{8}{5}$$

Substitúe n por -\frac{8}{5} en -3m+2n=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$-3m+2\left(-\frac{8}{5}\right)=1$$

Multiplica 2 por -\frac{8}{5}.

$$-3m-\frac{16}{5}=1$$

Suma \frac{16}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-3m=\frac{21}{5}$$

Divide ambos lados entre -3.

$$m=-\frac{7}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$