Resolver {l}{8x+9y=3}{x+y=0}

$$\left. \begin{array}{l}{ 8 x + 9 y = 3 }\\{ x + y = 0 }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8x+9y=3,x+y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$8x+9y=3$$

Resta 9y en ambos lados da ecuación.

$$8x=-9y+3$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-9y+3\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por -9y+3.

$$x=-\frac{9}{8}y+\frac{3}{8}$$

Substitúe x por \frac{-9y+3}{8} na outra ecuación, x+y=0.

$$-\frac{9}{8}y+\frac{3}{8}+y=0$$

Suma -\frac{9y}{8} a y.

$$-\frac{1}{8}y+\frac{3}{8}=0$$

Resta \frac{3}{8} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{8}y=-\frac{3}{8}$$

Multiplica ambos lados por -8.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-\frac{9}{8}y+\frac{3}{8}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{9}{8}\times 3+\frac{3}{8}$$

Multiplica -\frac{9}{8} por 3.

$$x=\frac{-27+3}{8}$$

Suma \frac{3}{8} a -\frac{27}{8} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8x+9y=3,x+y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-9}&-\frac{9}{8-9}\\-\frac{1}{8-9}&\frac{8}{8-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&9\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8x+9y=3,x+y=0$$

Para que 8x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 8.

$$8x+9y=3,8x+8y=0$$

Resta 8x+8y=0 de 8x+9y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+9y-8y=3$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y-8y=3$$

Suma 9y a -8y.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x+y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+3=0$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=3$$