Resolver {l}{7x-8y=-12}{-4x+2y=3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x - 8 y = - 12 }\\{ - 4 x + 2 y = 3 }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x-8y=-12$$

Suma 8y en ambos lados da ecuación.

$$7x=8y-12$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y-12\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por 8y-12.

$$x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}$$

Substitúe x por \frac{8y-12}{7} na outra ecuación, -4x+2y=3.

$$-4\left(\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}\right)+2y=3$$

Multiplica -4 por \frac{8y-12}{7}.

$$-\frac{32}{7}y+\frac{48}{7}+2y=3$$

Suma -\frac{32y}{7} a 2y.

$$-\frac{18}{7}y+\frac{48}{7}=3$$

Resta \frac{48}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{18}{7}y=-\frac{27}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{18}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{3}{2}$$

Substitúe y por \frac{3}{2} en x=\frac{8}{7}y-\frac{12}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{3}{2}-\frac{12}{7}$$

Multiplica \frac{8}{7} por \frac{3}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{12-12}{7}$$

Suma -\frac{12}{7} a \frac{12}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&-\frac{-8}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-8\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{7}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\left(-12\right)-\frac{4}{9}\times 3\\-\frac{2}{9}\left(-12\right)-\frac{7}{18}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x-8y=-12,-4x+2y=3$$

Para que 7x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 7.

$$-4\times 7x-4\left(-8\right)y=-4\left(-12\right),7\left(-4\right)x+7\times 2y=7\times 3$$

Simplifica.

$$-28x+32y=48,-28x+14y=21$$

Resta -28x+14y=21 de -28x+32y=48 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-28x+28x+32y-14y=48-21$$

Suma -28x a 28x. -28x e 28x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$32y-14y=48-21$$

Suma 32y a -14y.

$$18y=48-21$$

Suma 48 a -21.

$$18y=27$$

Divide ambos lados entre 18.

$$y=\frac{3}{2}$$

Substitúe y por \frac{3}{2} en -4x+2y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x+2\times \frac{3}{2}=3$$

Multiplica 2 por \frac{3}{2}.

$$-4x+3=3$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=0$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$