Resolver {l}{60x+60y=1170-300}{70x+140y=2035}

$$\left. \begin{array}{l}{ 60 x + 60 y = 1170 - 300 }\\{ 70 x + 140 y = 2035 }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{1}{14}\approx -0.071428571$$

$$y = \frac{102}{7} = 14\frac{4}{7} \approx 14.571428571$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$60x+60y=870,70x+140y=2035$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$60x+60y=870$$

Resta 60y en ambos lados da ecuación.

$$60x=-60y+870$$

Divide ambos lados entre 60.

$$x=\frac{1}{60}\left(-60y+870\right)$$

Multiplica \frac{1}{60} por -60y+870.

$$x=-y+\frac{29}{2}$$

Substitúe x por -y+\frac{29}{2} na outra ecuación, 70x+140y=2035.

$$70\left(-y+\frac{29}{2}\right)+140y=2035$$

Multiplica 70 por -y+\frac{29}{2}.

$$-70y+1015+140y=2035$$

Suma -70y a 140y.

$$70y+1015=2035$$

Resta 1015 en ambos lados da ecuación.

$$70y=1020$$

Divide ambos lados entre 70.

$$y=\frac{102}{7}$$

Substitúe y por \frac{102}{7} en x=-y+\frac{29}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{102}{7}+\frac{29}{2}$$

Suma \frac{29}{2} a -\frac{102}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{1}{14}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{14},y=\frac{102}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$60x+60y=870,70x+140y=2035$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{60\times 140-60\times 70}&-\frac{60}{60\times 140-60\times 70}\\-\frac{70}{60\times 140-60\times 70}&\frac{60}{60\times 140-60\times 70}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{70}\\-\frac{1}{60}&\frac{1}{70}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 870-\frac{1}{70}\times 2035\\-\frac{1}{60}\times 870+\frac{1}{70}\times 2035\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\\\frac{102}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{1}{14},y=\frac{102}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$60x+60y=870,70x+140y=2035$$

Para que 60x e 70x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 70 e todos os termos a cada lado da segunda por 60.

$$70\times 60x+70\times 60y=70\times 870,60\times 70x+60\times 140y=60\times 2035$$

Simplifica.

$$4200x+4200y=60900,4200x+8400y=122100$$

Resta 4200x+8400y=122100 de 4200x+4200y=60900 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4200x-4200x+4200y-8400y=60900-122100$$

Suma 4200x a -4200x. 4200x e -4200x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4200y-8400y=60900-122100$$

Suma 4200y a -8400y.

$$-4200y=60900-122100$$

Suma 60900 a -122100.

$$-4200y=-61200$$

Divide ambos lados entre -4200.

$$y=\frac{102}{7}$$

Substitúe y por \frac{102}{7} en 70x+140y=2035. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$70x+140\times \frac{102}{7}=2035$$

Multiplica 140 por \frac{102}{7}.

$$70x+2040=2035$$

Resta 2040 en ambos lados da ecuación.

$$70x=-5$$

Divide ambos lados entre 70.

$$x=-\frac{1}{14}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{1}{14},y=\frac{102}{7}$$