Resolver {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-4y=-7$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$5x=4y-7$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

Substitúe x por \frac{4y-7}{5} na outra ecuación, -6x+8y=2.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

Multiplica -6 por \frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

Suma -\frac{24y}{5} a 8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

Resta \frac{42}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{16}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

Multiplica \frac{4}{5} por -2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

Suma -\frac{7}{5} a -\frac{8}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Para que 5x e -6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -6 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

Simplifica.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

Resta -30x+40y=10 de -30x+24y=42 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

Suma -30x a 30x. -30x e 30x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$24y-40y=42-10$$

Suma 24y a -40y.

$$-16y=42-10$$

Suma 42 a -10.

$$-16y=32$$

Divide ambos lados entre -16.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en -6x+8y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

Multiplica 8 por -2.

$$-6x-16=2$$

Suma 16 en ambos lados da ecuación.

$$-6x=18$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=-2$$