Resolver {l}{4m+10n=83}{3m+4n=43}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 m + 10 n = 83 }\\{ 3 m + 4 n = 43 }\end{array} \right.$$

Resolver m, n

$$m=7$$

$$n = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4m+10n=83,3m+4n=43$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a m mediante o illamento de m no lado esquerdo do signo igual.

$$4m+10n=83$$

Resta 10n en ambos lados da ecuación.

$$4m=-10n+83$$

Divide ambos lados entre 4.

$$m=\frac{1}{4}\left(-10n+83\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -10n+83.

$$m=-\frac{5}{2}n+\frac{83}{4}$$

Substitúe m por -\frac{5n}{2}+\frac{83}{4} na outra ecuación, 3m+4n=43.

$$3\left(-\frac{5}{2}n+\frac{83}{4}\right)+4n=43$$

Multiplica 3 por -\frac{5n}{2}+\frac{83}{4}.

$$-\frac{15}{2}n+\frac{249}{4}+4n=43$$

Suma -\frac{15n}{2} a 4n.

$$-\frac{7}{2}n+\frac{249}{4}=43$$

Resta \frac{249}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{2}n=-\frac{77}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$n=\frac{11}{2}$$

Substitúe n por \frac{11}{2} en m=-\frac{5}{2}n+\frac{83}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$m=-\frac{5}{2}\times \frac{11}{2}+\frac{83}{4}$$

Multiplica -\frac{5}{2} por \frac{11}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=\frac{-55+83}{4}$$

Suma \frac{83}{4} a -\frac{55}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$m=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=7,n=\frac{11}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4m+10n=83,3m+4n=43$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&10\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}83\\43\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&10\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&10\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&10\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&10\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}83\\43\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&10\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}83\\43\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&10\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}83\\43\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-10\times 3}&-\frac{10}{4\times 4-10\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-10\times 3}&\frac{4}{4\times 4-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}83\\43\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{3}{14}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}83\\43\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 83+\frac{5}{7}\times 43\\\frac{3}{14}\times 83-\frac{2}{7}\times 43\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz m e n.

$$m=7,n=\frac{11}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4m+10n=83,3m+4n=43$$

Para que 4m e 3m sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$3\times 4m+3\times 10n=3\times 83,4\times 3m+4\times 4n=4\times 43$$

Simplifica.

$$12m+30n=249,12m+16n=172$$

Resta 12m+16n=172 de 12m+30n=249 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12m-12m+30n-16n=249-172$$

Suma 12m a -12m. 12m e -12m anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$30n-16n=249-172$$

Suma 30n a -16n.

$$14n=249-172$$

Suma 249 a -172.

$$14n=77$$

Divide ambos lados entre 14.

$$n=\frac{11}{2}$$

Substitúe n por \frac{11}{2} en 3m+4n=43. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar m directamente.

$$3m+4\times \frac{11}{2}=43$$

Multiplica 4 por \frac{11}{2}.

$$3m+22=43$$

Resta 22 en ambos lados da ecuación.

$$3m=21$$

Divide ambos lados entre 3.

$$m=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$m=7,n=\frac{11}{2}$$