Resolver {l}{3x_{1}+4x_{2}=10}{-4x_{1}-x_{2}=4}

$$\left. \begin{array}{l}{ 3 x _ { 1 } + 4 x _ { 2 } = 10 }\\{ - 4 x _ { 1 } - x _ { 2 } = 4 }\end{array} \right.$$

Resolver x_1, x_2

$$x_{1}=-2$$

$$x_{2}=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x_{1}+4x_{2}=10,-4x_{1}-x_{2}=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x_{1} mediante o illamento de x_{1} no lado esquerdo do signo igual.

$$3x_{1}+4x_{2}=10$$

Resta 4x_{2} en ambos lados da ecuación.

$$3x_{1}=-4x_{2}+10$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x_{1}=\frac{1}{3}\left(-4x_{2}+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -4x_{2}+10.

$$x_{1}=-\frac{4}{3}x_{2}+\frac{10}{3}$$

Substitúe x_{1} por \frac{-4x_{2}+10}{3} na outra ecuación, -4x_{1}-x_{2}=4.

$$-4\left(-\frac{4}{3}x_{2}+\frac{10}{3}\right)-x_{2}=4$$

Multiplica -4 por \frac{-4x_{2}+10}{3}.

$$\frac{16}{3}x_{2}-\frac{40}{3}-x_{2}=4$$

Suma \frac{16x_{2}}{3} a -x_{2}.

$$\frac{13}{3}x_{2}-\frac{40}{3}=4$$

Suma \frac{40}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{13}{3}x_{2}=\frac{52}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{13}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x_{2}=4$$

Substitúe x_{2} por 4 en x_{1}=-\frac{4}{3}x_{2}+\frac{10}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x_{1} directamente.

$$x_{1}=-\frac{4}{3}\times 4+\frac{10}{3}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por 4.

$$x_{1}=\frac{-16+10}{3}$$

Suma \frac{10}{3} a -\frac{16}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x_{1}=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x_{1}=-2,x_{2}=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x_{1}+4x_{2}=10,-4x_{1}-x_{2}=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&4\\-4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{3\left(-1\right)-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-4\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{4}{13}\\\frac{4}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 10-\frac{4}{13}\times 4\\\frac{4}{13}\times 10+\frac{3}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x_{1} e x_{2}.

$$x_{1}=-2,x_{2}=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x_{1}+4x_{2}=10,-4x_{1}-x_{2}=4$$

Para que 3x_{1} e -4x_{1} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-4\times 3x_{1}-4\times 4x_{2}=-4\times 10,3\left(-4\right)x_{1}+3\left(-1\right)x_{2}=3\times 4$$

Simplifica.

$$-12x_{1}-16x_{2}=-40,-12x_{1}-3x_{2}=12$$

Resta -12x_{1}-3x_{2}=12 de -12x_{1}-16x_{2}=-40 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-12x_{1}+12x_{1}-16x_{2}+3x_{2}=-40-12$$

Suma -12x_{1} a 12x_{1}. -12x_{1} e 12x_{1} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-16x_{2}+3x_{2}=-40-12$$

Suma -16x_{2} a 3x_{2}.

$$-13x_{2}=-40-12$$

Suma -40 a -12.

$$-13x_{2}=-52$$

Divide ambos lados entre -13.

$$x_{2}=4$$

Substitúe x_{2} por 4 en -4x_{1}-x_{2}=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x_{1} directamente.

$$-4x_{1}-4=4$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$-4x_{1}=8$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x_{1}=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x_{1}=-2,x_{2}=4$$