Resolver {l}{2x-y=4}{y=x+3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x - y = 4 }\\{ y = x + 3 }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=4$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Substitúe x por \frac{y}{2}+2 na outra ecuación, -x+y=3.

$$-\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=3$$

Multiplica -1 por \frac{y}{2}+2.

$$-\frac{1}{2}y-2+y=3$$

Suma -\frac{y}{2} a y.

$$\frac{1}{2}y-2=3$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}y=5$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en x=\frac{1}{2}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times 10+2$$

Multiplica \frac{1}{2} por 10.

$$x=5+2$$

Suma 2 a 5.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=10$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4+3\\4+2\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=10$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Para que 2x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-2x-\left(-y\right)=-4,2\left(-1\right)x+2y=2\times 3$$

Simplifica.

$$-2x+y=-4,-2x+2y=6$$

Resta -2x+2y=6 de -2x+y=-4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x+y-2y=-4-6$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-2y=-4-6$$

Suma y a -2y.

$$-y=-4-6$$

Suma -4 a -6.

$$-y=-10$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en -x+y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+10=3$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-7$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=10$$