Resolver {l}{2x-2y=-14}{y=4x-2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x - 2 y = - 14 }\\{ y = 4 x - 2 }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=10$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-2y=-14,-4x+y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-2y=-14$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$2x=2y-14$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y-14\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -14+2y.

$$x=y-7$$

Substitúe x por y-7 na outra ecuación, -4x+y=-2.

$$-4\left(y-7\right)+y=-2$$

Multiplica -4 por y-7.

$$-4y+28+y=-2$$

Suma -4y a y.

$$-3y+28=-2$$

Resta 28 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=-30$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en x=y-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=10-7$$

Suma -7 a 10.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=10$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-2y=-14,-4x+y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-14\right)-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\-\frac{2}{3}\left(-14\right)-\frac{1}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=10$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-2y=-14,-4x+y=-2$$

Para que 2x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-4\times 2x-4\left(-2\right)y=-4\left(-14\right),2\left(-4\right)x+2y=2\left(-2\right)$$

Simplifica.

$$-8x+8y=56,-8x+2y=-4$$

Resta -8x+2y=-4 de -8x+8y=56 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-8x+8x+8y-2y=56+4$$

Suma -8x a 8x. -8x e 8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y-2y=56+4$$

Suma 8y a -2y.

$$6y=56+4$$

Suma 56 a 4.

$$6y=60$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en -4x+y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x+10=-2$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-12$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=10$$