Resolver {l}{12x-4y=-4}{3x+8y=17}

$$\left. \begin{array}{l}{ 12 x - 4 y = - 4 }\\{ 3 x + 8 y = 17 }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$12x-4y=-4$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$12x=4y-4$$

Divide ambos lados entre 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(4y-4\right)$$

Multiplica \frac{1}{12} por -4+4y.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

Substitúe x por \frac{-1+y}{3} na outra ecuación, 3x+8y=17.

$$3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=17$$

Multiplica 3 por \frac{-1+y}{3}.

$$y-1+8y=17$$

Suma y a 8y.

$$9y-1=17$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$9y=18$$

Divide ambos lados entre 9.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

Multiplica \frac{1}{3} por 2.

$$x=\frac{2-1}{3}$$

Suma -\frac{1}{3} a \frac{2}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&\frac{12}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{27}\\-\frac{1}{36}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-4\right)+\frac{1}{27}\times 17\\-\frac{1}{36}\left(-4\right)+\frac{1}{9}\times 17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

Para que 12x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 12.

$$3\times 12x+3\left(-4\right)y=3\left(-4\right),12\times 3x+12\times 8y=12\times 17$$

Simplifica.

$$36x-12y=-12,36x+96y=204$$

Resta 36x+96y=204 de 36x-12y=-12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$36x-36x-12y-96y=-12-204$$

Suma 36x a -36x. 36x e -36x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y-96y=-12-204$$

Suma -12y a -96y.

$$-108y=-12-204$$

Suma -12 a -204.

$$-108y=-216$$

Divide ambos lados entre -108.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 3x+8y=17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+8\times 2=17$$

Multiplica 8 por 2.

$$3x+16=17$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$3x=1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$