Resolver {l}{10x-3y=27}{4x+y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 10 x - 3 y = 27 }\\{ 4 x + y = 2 }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$10x-3y=27,4x+y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$10x-3y=27$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$10x=3y+27$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(3y+27\right)$$

Multiplica \frac{1}{10} por 27+3y.

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}$$

Substitúe x por \frac{27+3y}{10} na outra ecuación, 4x+y=2.

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}\right)+y=2$$

Multiplica 4 por \frac{27+3y}{10}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{54}{5}+y=2$$

Suma \frac{6y}{5} a y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{54}{5}=2$$

Resta \frac{54}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{44}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=\frac{3}{10}y+\frac{27}{10}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{10}\left(-4\right)+\frac{27}{10}$$

Multiplica \frac{3}{10} por -4.

$$x=-\frac{6}{5}+\frac{27}{10}$$

Suma \frac{27}{10} a -\frac{6}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{3}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{2},y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$10x-3y=27,4x+y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{10-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{10-\left(-3\times 4\right)}&\frac{10}{10-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 27+\frac{3}{22}\times 2\\-\frac{2}{11}\times 27+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{3}{2},y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$10x-3y=27,4x+y=2$$

Para que 10x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 10.

$$4\times 10x+4\left(-3\right)y=4\times 27,10\times 4x+10y=10\times 2$$

Simplifica.

$$40x-12y=108,40x+10y=20$$

Resta 40x+10y=20 de 40x-12y=108 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$40x-40x-12y-10y=108-20$$

Suma 40x a -40x. 40x e -40x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y-10y=108-20$$

Suma -12y a -10y.

$$-22y=108-20$$

Suma 108 a -20.

$$-22y=88$$

Divide ambos lados entre -22.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en 4x+y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-4=2$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$4x=6$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{3}{2},y=-4$$