Resolver {l}{10x+10y=40}{5x+3y=8}

$$\left. \begin{array}{l}{ 10 x + 10 y = 40 }\\{ 5 x + 3 y = 8 }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$10x+10y=40,5x+3y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$10x+10y=40$$

Resta 10y en ambos lados da ecuación.

$$10x=-10y+40$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+40\right)$$

Multiplica \frac{1}{10} por -10y+40.

$$x=-y+4$$

Substitúe x por -y+4 na outra ecuación, 5x+3y=8.

$$5\left(-y+4\right)+3y=8$$

Multiplica 5 por -y+4.

$$-5y+20+3y=8$$

Suma -5y a 3y.

$$-2y+20=8$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=-12$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=-y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-6+4$$

Suma 4 a -6.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$10x+10y=40,5x+3y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10\times 3-10\times 5}&-\frac{10}{10\times 3-10\times 5}\\-\frac{5}{10\times 3-10\times 5}&\frac{10}{10\times 3-10\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}\times 40+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{4}\times 40-\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$10x+10y=40,5x+3y=8$$

Para que 10x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 10.

$$5\times 10x+5\times 10y=5\times 40,10\times 5x+10\times 3y=10\times 8$$

Simplifica.

$$50x+50y=200,50x+30y=80$$

Resta 50x+30y=80 de 50x+50y=200 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$50x-50x+50y-30y=200-80$$

Suma 50x a -50x. 50x e -50x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$50y-30y=200-80$$

Suma 50y a -30y.

$$20y=200-80$$

Suma 200 a -80.

$$20y=120$$

Divide ambos lados entre 20.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en 5x+3y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+3\times 6=8$$

Multiplica 3 por 6.

$$5x+18=8$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$5x=-10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=6$$