Resolver {l}{10s+7t=41}{8s+3t=12}

$$\left. \begin{array}{l}{ 10 s + 7 t = 41 }\\{ 8 s + 3 t = 12 }\end{array} \right.$$

Resolver s, t

$$t=8$$

$$s = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$10s+7t=41,8s+3t=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a s mediante o illamento de s no lado esquerdo do signo igual.

$$10s+7t=41$$

Resta 7t en ambos lados da ecuación.

$$10s=-7t+41$$

Divide ambos lados entre 10.

$$s=\frac{1}{10}\left(-7t+41\right)$$

Multiplica \frac{1}{10} por -7t+41.

$$s=-\frac{7}{10}t+\frac{41}{10}$$

Substitúe s por \frac{-7t+41}{10} na outra ecuación, 8s+3t=12.

$$8\left(-\frac{7}{10}t+\frac{41}{10}\right)+3t=12$$

Multiplica 8 por \frac{-7t+41}{10}.

$$-\frac{28}{5}t+\frac{164}{5}+3t=12$$

Suma -\frac{28t}{5} a 3t.

$$-\frac{13}{5}t+\frac{164}{5}=12$$

Resta \frac{164}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{13}{5}t=-\frac{104}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{13}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$t=8$$

Substitúe t por 8 en s=-\frac{7}{10}t+\frac{41}{10}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar s directamente.

$$s=-\frac{7}{10}\times 8+\frac{41}{10}$$

Multiplica -\frac{7}{10} por 8.

$$s=-\frac{28}{5}+\frac{41}{10}$$

Suma \frac{41}{10} a -\frac{28}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$s=-\frac{3}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$s=-\frac{3}{2},t=8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$10s+7t=41,8s+3t=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}10&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}10&7\\8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{10\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{10\times 3-7\times 8}&\frac{10}{10\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{26}&\frac{7}{26}\\\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{26}\times 41+\frac{7}{26}\times 12\\\frac{4}{13}\times 41-\frac{5}{13}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz s e t.

$$s=-\frac{3}{2},t=8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$10s+7t=41,8s+3t=12$$

Para que 10s e 8s sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por 10.

$$8\times 10s+8\times 7t=8\times 41,10\times 8s+10\times 3t=10\times 12$$

Simplifica.

$$80s+56t=328,80s+30t=120$$

Resta 80s+30t=120 de 80s+56t=328 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$80s-80s+56t-30t=328-120$$

Suma 80s a -80s. 80s e -80s anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$56t-30t=328-120$$

Suma 56t a -30t.

$$26t=328-120$$

Suma 328 a -120.

$$26t=208$$

Divide ambos lados entre 26.

$$t=8$$

Substitúe t por 8 en 8s+3t=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar s directamente.

$$8s+3\times 8=12$$

Multiplica 3 por 8.

$$8s+24=12$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$8s=-12$$

Divide ambos lados entre 8.

$$s=-\frac{3}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$s=-\frac{3}{2},t=8$$