Resolver {l}{-5x+y=-11}{4x-6y=14}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + y = - 11 }\\{ 4 x - 6 y = 14 }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-5x+y=-11$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-y-11$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-11\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -y-11.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}$$

Substitúe x por \frac{11+y}{5} na outra ecuación, 4x-6y=14.

$$4\left(\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}\right)-6y=14$$

Multiplica 4 por \frac{11+y}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{44}{5}-6y=14$$

Suma \frac{4y}{5} a -6y.

$$-\frac{26}{5}y+\frac{44}{5}=14$$

Resta \frac{44}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{26}{5}y=\frac{26}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{26}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{11}{5}$$

Multiplica \frac{1}{5} por -1.

$$x=\frac{-1+11}{5}$$

Suma \frac{11}{5} a -\frac{1}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{1}{-5\left(-6\right)-4}\\-\frac{4}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-6\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{2}{13}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\left(-11\right)-\frac{1}{26}\times 14\\-\frac{2}{13}\left(-11\right)-\frac{5}{26}\times 14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Para que -5x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por -5.

$$4\left(-5\right)x+4y=4\left(-11\right),-5\times 4x-5\left(-6\right)y=-5\times 14$$

Simplifica.

$$-20x+4y=-44,-20x+30y=-70$$

Resta -20x+30y=-70 de -20x+4y=-44 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-20x+20x+4y-30y=-44+70$$

Suma -20x a 20x. -20x e 20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-30y=-44+70$$

Suma 4y a -30y.

$$-26y=-44+70$$

Suma -44 a 70.

$$-26y=26$$

Divide ambos lados entre -26.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en 4x-6y=14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-6\left(-1\right)=14$$

Multiplica -6 por -1.

$$4x+6=14$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$4x=8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-1$$